Grenzwert von Folgen_WeKno
Author: Werner Knobloch

a_n= a_0 + \sqrt {n }  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 +\sqrt{  n-1 }   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_0 \cdot q^n   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 \cdot q ^{(n-1) }  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_0 + n \cdot d  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 + (n-1)\cdot d  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

\text{Grenzwert von Folgen}

 \scalebox{0.8}   \text { Werner Knobloch 2012} 

 \scalebox{0.9}    { a_0,a_1,a_2, . . . a_n  \;  \;  \;  \;   (n+1)-Folgeglieder}

 \scalebox{0.9}    {  a_1,a_2, . . . a_n   \;   \;   \;   \;      n -Folgeglieder}

\textcolor{#ff0000}

\textcolor{#0000ff}

#0000ff

#ff0000

\text{Hat die Folge einen Grenzwert ?}\
\text{Versuche gegebenenfalls den Regler \textcolor{#ff0ffc} {a} auf einen vermuteten Grenzwert einzustellen.}

p = 2.1 (slider from 1 to 10, step 0.1)
n = 50 (slider from 0 to n_{max}, step 1)
c = 4.4 (slider from Min to Max, step 0.1)
Start_{ 0/1} = false
axx: (Random[0, 5] * (-1)^(Random[1, 2]))
Text21: "a_n= " + (LaTeX[axx]) + " + \frac{1}{n}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; ."
Text20: "a_n= " + (LaTeX[axx]) + " + \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; ."
Text22: "a_n= " + (LaTeX[axx]) + " +\frac{1} {n+1}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; ."
aFormel_{1} = If(Start_{ 0/1}, Text22, Text21)
Text19: "a_n= " + (LaTeX[axx]) + " + \frac{(-1)^n}{n}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; ."
aFormel_{-1} = If(Start_{ 0/1}, Text20, Text19)
alternierend: (-1)^(Random[1, 2])
aFormel = If(alternierend ≟ -1, aFormel_{-1}, aFormel_{1})
wFormel = If(Start_{ 0/1}, Text9, Text10)
gFormel = If(Start_{ 0/1}, Text7, Text6)
arithFormel = If(Start_{ 0/1}, Text4, Text3)
Text12: "a_n= " + (LaTeX[c]) + " +" + (LaTeX[p]) + "·  \frac{(-1)^n}{n+1}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; ."
Text13: "a_n= " + (LaTeX[c]) + " +" + p + "·  \frac{(-1)^n}{n+1}   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; ."
Text15 = If(Start_{ 0/1}, Text13, Text12)
aFolge = Sequence(axx + alternierend^(i) / i, i, 1, n + Start_{ 0/1})
n_{max} = 50 (slider from 0 to 50, step 1)
Zufallsfolge = Sequence(((-1)^(Random[1, 2]) * Random[0, 1000] / 200), i, 1, n_{max} + Start_{ 0/1})
d = -0.4 (slider from -5 to 5, step 0.001)
a_{0/1} = 2.7 (slider from -5 to 5, step 0.1)
Wurzelfolge = Sequence(a_{0/1} + sqrt(i - 1), i, 1, n + Start_{ 0/1})
arithmetischeFolge = Sequence(a_{0/1} + ((i - 1) * d), i, 1, n + Start_{ 0/1})
q = 1.05 (slider from -5 to 5, step 0.01)
geometrische = Sequence((a_{0/1} * q^(i - 1)), i, 1, n + Start_{ 0/1})
a = 5.4 (slider from Min to Max, step 0.001)
ε = 1.35 (slider from 0 to 5, step 0.001)
Folgentyp = 6 (slider from 1 to 6, step 1)
wechselnde = Sequence(c + ((p * (-1)^(i))) / (i + 1), i, 1 - Start_{ 0/1}, n + Start_{ 0/1})
Typenliste: {Zufallsfolge, arithmetischeFolge, geometrische, Wurzelfolge, aFolge, wechselnde}
Folge = Element(Typenliste, Folgentyp)
Folge_{Ko-System} = Sequence((i + 1 - Start_{ 0/1}, Element[Folge, i + 1]), i, 0, n - 1 + Start_{ 0/1})
Abstandswerte = Sort(Zip[(abs(y(A) - a), x(A)), A, Folge_{Ko-System}])
Formelliste: {"", arithFormel, gFormel, wFormel, aFormel, Text15}
Folgenname: {"Zufallsfolge\space \scalebox{0.7}{(F9-Taste)}", "arithmetische \space Folge", "geometrische \space Folge", "Wurzelfolge", "a-Folge \space\scalebox{0.7}{(F9-Taste)}", "pendelnde\space Folge"}
Text5 = Element(Folgenname, Folgentyp)
Animation = 0 (slider from 0 to 5, step 0.1)
Ordinaten = true
Theorie = false
b: y = a
A: ((-10), a + ε)
B: ((-10), a - ε)
C: (1000, y(B))
D: (1000, y(A))
Vieleck1, a_1, b_1, c_1, d_1 = Polygon(A, B, C, D)
Text23: "" + (LaTeX[Element[Formelliste, Folgentyp]]) + ""
Text11: " " + (LaTeX[Text5]) + " "
Folge_{yAchse} = Sequence((0, Element[Folge, i + 1]), i, 0, n - 1 + Start_{ 0/1})
Indizes = Zip(If[x(A)  <  ε, 0, 1], A, Abstandswerte)
Index = If(Defined[IndexOf[1, Indizes]], IndexOf[1, Indizes], n + 1 + Start_{ 0/1})
Indizes_{drinnen}: y(Take[Abstandswerte, 1, Index - 1])
Indizes_{draußen}: y(Take[Abstandswerte, Index, n + Start_{ 0/1}])
Punkte_{drinnen} = Zip((a, y(Element[Folge_{Ko-System}, a + Start_{ 0/1}])), a, Indizes_{drinnen})
Punkte_{draußen} = Zip((a, y(Element[Folge_{Ko-System}, a + Start_{ 0/1}])), a, Indizes_{draußen})
Ordinaten_{drinnen} = Zip(Segment[(x(A), 0), A], A, Punkte_{drinnen})
Ordinaten_{draußen} = Zip(Segment[(x(A), 0), A], A, Punkte_{draußen})
Max: round(y(Corner[3]))
Min: round(y(Corner[2]))
Draußen = Zip((0, y(a)), a, Punkte_{draußen})
Drinnen = Zip((0, y(a)), a, Punkte_{drinnen})
Text8: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{Umgangssprachlich:} \\ \text{ Eine Zahl a ist Grenzwert einer Folge } a_n \text{ wenn sich ihr die Glieder der Folge für n → ∞ beliebig nähern. }\\ \text{ Der Grenzwert kann, muss aber nicht, selbst zu den Folgewerten gehören . }\\ \space \\ \text{ Für eine mathematisch passendere Formulierung benötigt man den metrischen Begriff der } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "} \scalebox{1.4}{ε} -Umgebung.\\ \text{ Das ist einfach ein Intervall ohne Randpunkte, das den behaupteten Grenzwert enthält.}}\\   \space \\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ \text{Mengenschreibweise: }U{ε}(a) = \left\{ x : |x - a| < \scalebox{1.5}{ε} \right\}  } \\ \space \\  \space \\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{Mathematische Formulierung des Grenzwertbegriffs:}} \\  \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{ Eine Zahl } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{a}\text{ ist Grenzwert einer Folge, wenn es zu } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{jeder }\text{ ε-Umgebung } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{(und \;sei \;sie \;noch \;so \;klein)\;} einen} \\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ \space Index \space n_0 } \text{ gibt, ab dem }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{alle \;folgenden}\text{ Folgeglieder sich nur noch } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{innerhalb}\text{ der vorgebenen }\\ \text{ ε-Umgebung befinden.} }\\ \space \\  \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{Formalisierung des Grenzwertbegriffs:}}\\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{ Eine Zahl }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{a} \text{ ist Grenzwert einer Folge, wenn es zu }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{jedem}\text{ vorgegebenen ε > 0 einen} }\\   \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{\text{ Index } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{n_0} \text{ gibt, so dass gilt : }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{|a_n−a| < ε} \text{  für} \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{\text{ alle n > }n_0 } }\\\space \\  \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ \text{Hinweise: }}\\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ \text{ 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist er eindeutig bestimmt.}}\\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{ 2. Der jeweils gesuchte Index } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{\scalebox{1}{ {n_0} }}\scalebox{1} \text{ lässt sich in der Regel als Funktion von} \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}\scalebox{1.3}{ \space ε} \space angeben:\space\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}\scalebox{1}{n_0(\varepsilon)}}"