Grenzwert vonFunktionen_WeKno
Author: Werner Knobloch

a_n= a_0 + \sqrt {n }  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 +\sqrt{  n-1 }   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_0 \cdot q^n   \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 \cdot q ^{(n-1) }  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_0 + n \cdot d  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 0 \; . \; .  \; .  \; .

a_n= a_1 + (n-1)\cdot d  \; ;\;  \;  \;  \;   n= 1 \; . \; .  \; .  \; .

\text{Grenzwerte von Funktionen}

 \scalebox{0.7}   \text { Werner Knobloch 2012} 

x_0

\scalebox{1.1}{a = \lim_{ x \to x_0 } f(x) \;für  \;endliches  \; x_0 \; ?}

F9 = neue Werte

#ff0000

#0000ff

f_7b(x) = x - 2
f_6(x) = floor(x)
xS7 = Random(-3, 7)
yS7: f_7b(xS7 + Random[1, 3])
f_5(x) = If[x  <  1, x^(2) - 1, If[x  <  2, (2 * x) - 1, 3.5]]
f_3(x) = sin(x)
f_2(x) = x^(2) - 1
f_1(x) = x
Funktionstyp = 4 (slider from 0 to 7, step 1)
Folgenname: {"Zufallsfolge", "arithmetische Folge", "geometrische Folge", "Wurzelfolge", "a-Folge \scalebox{0.7}{(F9-Taste)}"}
Theorie = false
ε = 0.35 (slider from 0 to 5, step 0.001)
a = 1 (slider from -5 to 5, step 0.001)
b: y = a
A: ((-10), a + ε)
B: ((-10), a - ε)
C: (1000, y(B))
D: (1000, y(A))
Vieleck1, a_1, b_1, c, d_1 = Polygon(A, B, C, D)
δ = 0.85 (slider from 0 to 5, step 1.0E-4)
x_0 = 4.8 (slider from -10 to 30, step 0.001)
X_0: (x_0, 0)
E: (x_0 + δ, (-100))
F: (x_0 - δ, (-100))
G: (x_0 - δ, 100)
H: (x_0 + δ, 100)
Focus: (x_0, a)
Zoom = 2.76 (slider from 0 to 4, step 1.0E-4)
xN4 = Random(-4, 7)
f_4b(x) = (x - xN4)^(3) + 1
Vieleck2, d, e, g, h = Polygon(F, E, H, G)
Text2 = LaTeX(f_5, true, false)
J: (1, f_5(1))
K: (2, f_5(2))
f_7(x) = If[x ≟ xS7, yS7, x - 2]
Text19 = LaTeX(f_7, true, false)
i: x = x_0
Text8 = LaTeX(f_1, true, true)
Text21 = LaTeX(f_2, true, true)
Text22 = LaTeX(f_3, true, true)
f_4(x) = (x - xN4)^(4) / (x - xN4) + 1
Text23 = LaTeX(f_4, true, true)
Text24 = LaTeX(f_6, true, true)
Text25 = LaTeX(f_5, true, true)
Text26 = LaTeX(f_7, true, true)
I: (xN4, f_4b(xN4))
M: (xS7, f_7b(xS7))
L: (xS7, f_7(xS7))
Text11: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{Umgangssprachlich:} \\
\text{ Eine Zahl }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{a}\text{ ist Grenzwert einer Funktion } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{f(x)} \text{ an einer Stelle } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{x_0} \text{ wenn sich ihr die Funktion in der Umgebung}\\
 \text{ der Stelle } x_0  \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{  \space beliebig}\text{ nähert.Der Grenzwert kann, muss aber nicht, selbst zu den Funktionswerten gehören. }\\
\text{ Die Stelle }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{x_0} \text{ muss lediglich ein }\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{Berührpunkt}\text{ des Definitionsbereichs sein, also nicht direkt dazugehören.} \\
 
\space \\ \text{ Für eine mathematisch passendere Formulierung benötigt man den metrischen Begriff der } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "} \scalebox{1.4}{ε} -Umgebung \\
\text{ bzw. }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " } \scalebox{1.4}{δ} -Umgebung.
\text{ Das sind einfach Intervalle ohne Randpunkte, die jeweils die betrachteten Stellen } \\
\text{ bzw. Werte  enthalten.} } \\   \space \\ 

\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ \text{Mengenschreibweise: }U_{ε}(a) = \left\{ y : |y - a| < \scalebox{1.5}{ε} \right\} \text{             }
V_{δ}(x_0) = \left\{ x : |x - x_0| < \scalebox{1.5}{δ} \right\}  } \\ \space \\  \space \\ 

\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{Mathematische Formulierung des Grenzwertbegriffs:}} \\  \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{ Eine Zahl } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{a}\text{ ist Grenzwert einer Funktion an einer Stelle }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{x_0}      , \text{wenn es zu } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{jeder }\text{ ε-Umgebung } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{U_{ε}(a)}\text{ von } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{a}} \\ 
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{  eine Umgebung } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ V_{δ}(x_0)  } \text{ von }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{x_0}  \text{ gibt, so dass ihr Bild }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{f(V_{δ}(x_0) )}\text{ ganz in } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{U_{ε}(a) }\text{ liegt } }\\ \space \\ 

\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{Formalisierung des Grenzwertbegriffs:}}\\ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {\text{ Eine Zahl }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{a} \text{ ist Grenzwert einer Funktion an einer Stelle } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{x_0} \text{, wenn es zu }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{jedem}\text{ vorgegebenen }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ε > 0}\text{  ein} \\  
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ \space δ >0} \text{ gibt, so dass gilt : }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{|f(x)−a| < ε} \text{  für} \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{\text{ alle x} }\text{ mit }\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{ |x−x_0|< δ }}\\ \space \\  
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ \text{Hinweise: }}\\ 
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ \text{ 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist er eindeutig bestimmt.}}\\ 
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\text{ 2. Das jeweils gesuchte } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{\scalebox{1}{ {δ} }}\scalebox{1} \text{ lässt sich in der Regel als Funktion von } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}\scalebox{1.3}{ε} \space angeben:\space\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}\scalebox{1}{δ(\varepsilon)} }  }"