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Werner Knobloch, 2015

Logistisches \space Wachstum\
\scalebox{0.6}{B(t+1)= B(t)+k·B(t)·(S-B(t))}

logistische Funktion

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k animiert ⇒ Verweigungsverhalten in Abhängigkeit von k bzw. k·S (Feigenbaumstruktur)

Refresh

S = 24.01 (slider from 1 to 40, step 0.01)
k = 0.07879 (slider from 0 to 3.5 / S, step 1.0E-6)
k·S: (k * S)
rek_{logistisch}(x) = x + ((k * x) * (S - x))
C, N_0 = Intersect(rek_{logistisch}, xAxis)
F: (0, x(N_0))
E: (x(N_0), x(N_0))
Rekursionslänge = 188 (slider from 0 to 500, step 1)
B_0 = 7.1 (slider from 0 to 20, step 0.1)
Liste1 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{logistisch}, B_0, Rekursionslänge])
b = PolyLine(Liste1)
Schranke: y = S
Liste2 = IterationList(rek_{logistisch}, B_0, Rekursionslänge)
Liste3 = Sequence({(Element[Liste2, i], Element[Liste2, i + 1]), (Element[Liste2, i + 1], Element[Liste2, i + 1])}, i, 1, Rekursionslänge)
e = PolyLine(Join[Liste3])
a: (y(Corner[3] - Corner[2]) * 0.01)
Liste4 = Sequence(Segment[(Element[Liste2, i], ((-a)) / 2), (Element[Liste2, i], a / 2)], i, 1, Rekursionslänge)
Konstruktion = true
Streckenzug = true
f_{logist}(t) = (B_0 * S / (B_0 + ((S - B_0) * ℯ^((((-k) * S) * t)))))
f_{logistisch}(x) = If[0 ≤ x ≤ 10000,f_{logist}]
Text2 = LaTeX(f_{logist}, true, true)
logistisch = false
A, B = Intersect(rek_{logistisch}, Winkelhalbierende)
W_S = OrthogonalLine(B, Winkelhalbierende)
Tangente(x) = (rek_{logistisch}'(x(B)) * (x - x(B))) + y(B)
f: x = x(N_0)
Vieleck1, h, i, j, l = Polygon(C, N_0, E, F)
g: y = x(N_0)
x_S: (1 / 2 * (1 / k + S))
y_S: rek_{logistisch}(x_S)
S_p: (x_S, y_S)
x_N: 1 / k + S
y_Test: (1 + ((2 * k) * S) + ((k * S))^(2)) / ((4 * k))
Hilfsobjekte = true
Colork·S = If(k·S  <  2, ColorGreenDark, If[k·S > 3, ColorRed, ColorBlue])
d: abs(S - Element[Liste2, Rekursionslänge + 1])
Text5 = If(k·S  <  2, "konvergent", If[k·S > 3, "divergent", "beschränkt"])
Rekursionslänge_2: round(Rekursionslänge)
Liste6 = Union(Take[Liste2, 30], {})
Liste5 = Zip((k, a - S), a, Liste6)
Hinweise = true
speed_k = 0 (slider from 0 to 1, step 0.01)
Text6: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{\mathbf{\text{ Rekursionsgleichung für Bestand B: }}\\ 
 \text{ B(t+1)= B(t)+k·B(t)·(S-B(t))} \\
\text{              =B(t)+" + (LaTeX[k]) + " ·B(t)·( " + (LaTeX[S]) + " −B(t))}} \\ \space \\
\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{\mathbf{\text{ logistische Parabel:}}\\
\text{ f(x) =x + k·x·(S−x)       =  x +" + (LaTeX[k]) + " · x ·(" + (LaTeX[S]) + "−x) }\\
\text{ f(x) =−k·} x^2\text{ +(1+k·S)·x   =−" + (LaTeX[k]) + "·} x^2\text{ +(1+" + (LaTeX[k]) + " · S) · x) }} \\ 
\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{\text{ }N_0 = \left(  \frac{(1+  k· S )} {k},0 \right)} 
\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ \text{ }Sp=\left(  \frac{(1+  k·S )}{ 2· k}, \frac{(1+2· k· S + (k ·S)^2)}{ 4· k} \right) }\\ \space \\
\text{ Das hellgrüne Rechteck hat zwei Eckpunkte auf der ersten  }\\ 
\text{ Winkelhalbierenden, ist also rechnerisch ein Quadrat! }\\ \space \\
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{\mathbf{\text{ Verhaltensschwelle: k·S=2}}} \\  \space \\
\text{ Ein erste Verhaltensschwelle ergibt sich aus der Inzidenz}  \\
\text{ von } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{Tangente}  \text{ und Senkrechte } \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreenDark]) + "}{ W_s} \text{ zur ersten Winkelhalbierenden} \\
\text{ im Schnittpunkt } \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{B} \text{ der Parabel mit der ersten Winkelhalbierenden. } \\
\text{ Dieser Schnittpunkt hat die Koordinaten (S,S) =(" + (LaTeX[S]) + " ," + (LaTeX[S]) + " ) } \\
\text{ Aus der Ableitung y'=−2·k x+(1+k ·S) ergibt sich die Steigung} \\
\text{ f'(S) =1−k·S und damit die Gleichung  1−k·S=−1  ⇒} \\
\text{ k·S =2 für Steigungsgleichheit bzw. Inzidenz von }  \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{Tangente}\text{ und } \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreenDark]) + "}{W_s} \\ \space \\
\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{\mathbf{\text{ Verhaltensschwelle: k·S=3}}} \\  \space \\

\text{ Für }\frac{(1+2· k·S + (k ·S)^2)}{ 4·k} =  \frac{(1+ k·S )} {k}\text{ , also für }\\
\text{ (k·S)^2−2 (k·S)−3 =0 ⇒ k ·S = 3 , liegt der } \\
\text{ Scheitelpunkt  auf dem oberen Rand des günen “Quadrates”.}\\
\text{ An dieser Stelle schlägt das Rekursionsverhalten ebenfalls deutlich um.}\\ "
Text1: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[Colork·S]) + "}{" + (LaTeX[LaTeX[k·S, true, true]]) + "\\ 
\text{}" + (LaTeX[Text5]) + "\\
\text{}|S-B(" + (LaTeX[Rekursionslänge_2]) + ")| =" + (LaTeX[d]) + "}"