#0000ff

Werner Knobloch, 2015

radioaktiver Zerfall

#ff0000

#00ff00

#00A900

Zerfallen in Prozent :

Zeitvorgabe :

H

Halbwertszeit :

A(0)

H

B(0)

Zeit t :

Hinweis: Bei kleinen Halbwertszeiten kann die Zeitachse mit Shift + linke Maustaste gestreckt werden.

Jahre:

#7f0ff0

!

Runden(x, y) = If[abs(y)  <  1, floor((x * y^(-1)) + 0.5) / y^(-1),floor((x * 10^(y)) + 0.5) / 10^(y)]
C_0 = 100 (slider from 1 to 1000, step 0.1)
T_1 = 5730
λ_1: log(2) / T_1
C(t) = (C_0 * ℯ^(((-λ_1) * t)))
t = 1300 (slider from 0 to 10000, step 0.01)
ElementeZahl = 15
konstJ = 3.1536E7
konstT = 86400
ElementeZeitSekundenText_0: {Text[(8 * konstT)], Text[(58.5 * konstT)], Text[(367 * konstT)], Text[(2.1 * konstJ)], Text[(5.3 * konstJ)], Text[(10.7 * konstJ)], Text[(12.4 * konstJ)], Text[(28.8 * konstJ)], Text[(30.2 * konstJ)], Text[(5730 * konstJ)], Text[(24000 * konstJ)], Text[(214000 * konstJ)], Text[(2100000 * konstJ)], Text[(16000000 * konstJ)], Text[(703800000 * konstJ)]}
ElementeZeitPotenzen = Zip(Length[a], a, ElementeZeitSekundenText_0)
ElementeZeitSekunden: {(8 * konstT), (58.5 * konstT), (367 * konstT), (2.1 * konstJ), (5.3 * konstJ), (10.7 * konstJ), (12.4 * konstJ), (28.8 * konstJ), (30.2 * konstJ), (5730 * konstJ), (24000 * konstJ), (214000 * konstJ), (2100000 * konstJ), (16000000 * konstJ), (703800000 * konstJ)}
ElementeZeitNormierung = Zip(a / 10^(b - 1), a, ElementeZeitSekunden, b, ElementeZeitPotenzen)
ElementeArt: {"\bold{Art}", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Aktivierungsprodukt", "Spaltprodukt", "Wasserstoffisotop", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Kohlenstoffisotop", "Transuran", "Spaltprodukt", "Transuran", "Spaltprodukt", "Uranisotop"}
Elementeλ2: {"\bold{Zerfallskonst. \space λ_s}", "1.0028 \space E-6", "1.3713 \space E-7", "2.1860 \space E-8", "1.0466 \space E-8", "4.1471 \space E-9", "2.0542 \space E-9", "1.7725 \space E-9", "7.6318 \space E-10", "7.2780 \space E-10", "3.8359 \space E-12", "9.1581 \space E-13", "1.0271 \space E-13", "1.0466 \space E-14", "1.3737 \space E-15", "3.1230 \space E-17"}
ElementeNamen: {"\bold{Radionukleid}", "Jod 131", "Yttrium 91", "Ruthenium 106", "Cäsium 134", "Kobalt 60", "Krypton 85", "Tritium", "Strontium 90", "Cäsium 137", "Kohlenstoff C14", "Plutonium 239", "Techenium 99", "Neptunium 237", "Jod 129", "Uran 235"}
ElementeZeit1: {"\bold{Halbwertszeit \space T_{HW}}", "8 \space Tage", "58,5\space  Tage", "367 \space Tage", "2,1 \space  Jahre", "5,3 \space Jahre", "10,7\space  Jahre", "12,4 \space Jahre", "28,8 \space Jahre", "30,2 \space  Jahre", "5730 \space Jahre", "24 000 \space Jahre", "214 000 \space Jahre", "2,1 \space Mio.\space  Jahre", "16 \space Mio \space Jahre", "703,8 \space Mio \space Jahre"}
ElementeλJahre2: {"3.16248 \space E+1", "4.32476 \space E-0 ", "6.89370 \space E-1 ", "3.30070 \space E-1 ", "1.30782 \space E-1 ", "6.47801 \space E-2", "5.58990 \space E-2", "2.40676 \space E-2", "2.29519 \space E-2", "1.20968 \space E-4", "2.88811 \space E-5", "3.23901 \space E-6", "3.30070 \space E-7", "4.33217 \space E-8", "9.84864 \space E-10"}
ElementeλJahre3 = Append("\bold{Zerfallskonst. \space λ_a}", ElementeλJahre2)
ElementeNummern = Join({{" "}, Sequence[Text[i], i, 1, ElementeZahl]})
ElementeZeitSekundenText = Append("\bold{T_{HW} \space Sekunden}", Sequence[Text[Element[ElementeZeitNormierung, j] + "\space E + " + (Element[ElementeZeitPotenzen, j] - 1) + ""], j, 1, ElementeZahl])
ElementeSammler1: {ElementeNummern, ElementeNamen, ElementeZeit1, ElementeZeitSekundenText, Elementeλ2, ElementeλJahre3, ElementeArt}
Spaltenzahl = Length(ElementeSammler1)
ElementeZeitJahre: ElementeZeitSekunden / konstJ
ElementeλJahre = Zip(Text[log(2) / a], a, ElementeZeitJahre)
Strahler = 10 (slider from 1 to 14, step 1)
Zahldarstellung = 7 (slider from 0 to 17, step 1)
Faktor: 10^(Zahldarstellung)
Text6: "\bold \text{" + (LaTeX[Element[ElementeNamen, Strahler + 1]]) + "}"
T_s = Element(ElementeZeitSekunden, Strahler)
T_a: T_s / konstJ
λ_{a}: log(2) / T_a
Text11: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B(t) = B(0) · e^{- " + (LaTeX[λ_{a}]) + " \space t}}"
Text7: "" + (LaTeX[LaTeX[λ_{a}, true, true]]) + " \space  a^{-1}"
Text3: "" + (LaTeX[LaTeX[T_a, true, true]]) + " \space a"
λ_{s}: log(2) / T_s
λ'_{s}: (λ_{s} * Faktor)
Text1 = Text(λ'_{s})
λ_{s}Text: "λ_{s} =" + (LaTeX[Text1]) + " ·10^{-" + (LaTeX[Zahldarstellung]) + "}  \space s^{-1}"
T_d: T_s / konstT
Text4: "" + (LaTeX[LaTeX[T_d, true, true]]) + " \space d"
Text5: "" + (LaTeX[LaTeX[T_s, true, true]]) + " \space s"
B_0 = 59.3 (slider from -5 to 100, step 0.1)
B(t) = (B_0 * ℯ^(((-λ_{a}) * t)))
Text2: "" + (LaTeX[LaTeX[B, true, true]]) + ""
SammlerTabelle1: {Text6, Text11, Text3, Text4, Text5, Text7, λ_{s}Text, "T_{\frac{1}{2}} =" + (Element[ElementeZeit1, Strahler + 1])}
Sekunden_{im Jahr} = 3.1536E7
Text8 = TableText({SammlerTabelle1}, "|_v")
ElementeTabellenliste1 = Sequence(Sequence[Element[Element[ElementeSammler1, j], i], j, 1, Spaltenzahl], i, 1, ElementeZahl + 1)
Text12 = TableText(ElementeTabellenliste1, "|_")
Tabelle = true
Seite = 0 (slider from 0 to 3, step 1)
Data_0Input = 21.4894
Textfeld1 = Textfield(Data_0Input)
t_1 = 2000
Textfeld2 = Textfield(t_1)
Data_1: Data_0Input / 100
Data_2: 1 - Data_1
Data_3: ((-log(Data_2))) / t_1
Data_4: round((10 * log(2) / Data_3) + 0.5) / 10
D: (T_a, B(T_a))
c = Segment((0, y(D)), D)
d = Segment((T_a, 0), D)
Textfeld3 = Textfield(T_1)
E: (0, C_0)
F: (T_1, C(T_1))
e_1 = Segment((0, y(F)), F)
G: (0, B_0)
Textfeld4 = Textfield(t)
Elementeλ1: {Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 1]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 2]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 3]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 4]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 5]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 6]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 7]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 8]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 9]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 10]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 11]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 12]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 13]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 14]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 15]]}
ElementeλJahreText_0 = Append("\bold{Zerfallskonst. \space λ_a}", ElementeλJahre)
Hinweis = true
Text15: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{C(t) = C(0) · e^{- " + (LaTeX[λ_1]) + " \space t}}"
A_0 = 100 (slider from 1 to 200, step 0.1)
A(t) = (A_0 * ℯ^(((-Data_3) * t)))
H: (Data_4, A(Data_4))
a = Segment((Data_4, 0), H)
b = Segment((0, y(H)), H)
Text10: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{A(t) = A(0) · e^{- " + (LaTeX[Data_3]) + " \space t}}"
e_2 = Segment((x(F), 0), F)
Restbruchteil: ℯ^(((-λ_1) * t))
ZerfallenBruchteil: 1 - ℯ^(((-λ_1) * t))
RestAbsolut: (C_0 * Restbruchteil)
ZerfallenAbsolut: (C_0 * ZerfallenBruchteil)
I: (t, C(t))
J: (t, 0)
e = Segment(J, I)
K: (0, Runden(C(t), 3))
f = Segment(I, K)
Jahre = 773.5 (slider from 0 to Zeitgrenze, step 0.1)
L: (Jahre, B(Jahre))
Zeitgrenze = Min(Max[(4 * Element[ElementeZeitJahre, Strahler]), 1], 1000000000)
Textfeld5 = Textfield(Jahre)
M: (Jahre, 0)
N: (0, B(Jahre))
g = Segment(M, L)
h = Segment(L, N)
i = Segment((t_1, 0), (t_1, A(t_1)))
j: y = A_0
O: (0, A_0)
k = Segment((t_1, A_0), (t_1, A(t_1)))
P: (t_1, A(t_1))
l = Segment((0, A(t_1)), (t_1, A(t_1)))
m = Segment((0, 0), (0, A(t_1)))
n = Segment((0, A_0), (0, A(t_1)))
p = Segment((0, A_0), (0, A(t_1)))
Text13: " \space \\
\text{ }\mathbf{Aufgabenbeispiel: }\\
\text{ Von einem radioaktiven Stoff sind nach " + (LaTeX[t_1]) + " Jahren " + (LaTeX[Data_0Input]) + " \% zerfallen.}\\ 
\text{ Berechne die Halbwertszeit und stelle die Zerfallsfunktion auf.} \\ \space \\
\text{ }\mathbf{Lösung:} \\ 
\text{ }\frac{A(0) -A(t)} {A(0)} = " + (LaTeX[Data_1]) + " ⇒\frac{A(t)} {A(0)} = 1 - " + (LaTeX[Data_1]) + "  \\
\text{ }\frac{A(t)} {A(0)} = e^{-λ·t} ⇒ e^{-λ·" + (LaTeX[t_1]) + "} = 1 - " + (LaTeX[Data_1]) + " =" + (LaTeX[Data_2]) + " \\ 
\text{⇒ } -" + (LaTeX[t_1]) + " λ = ln(" + (LaTeX[Data_2]) + ") ⇒ λ = -\frac{ ln(" + (LaTeX[Data_2]) + ")} {" + (LaTeX[t_1]) + "} =  " + (LaTeX[Data_3]) + "\\

\text{⇒  }   T = \frac{ln(2)}{λ} =   \frac{ln(2)}{" + (LaTeX[Data_3]) + "} =   " + (LaTeX[Data_4]) + " \space  a  \\ \space \\
\text{⇒  }   A(t) = A(0)·e^{ " + (LaTeX[Data_3]) + " · t  }   \\ \space \\
\text{ }\mathbf{Aufgabenvariante: }\\
\text{ Von einem Radionukleid sind nach 60 Jahren 74.77 % zerfallen.} \\
\text{ Um welchen Stoff könnte es sich handeln }? \\ \space \\
                                   "
Text17: "\space \\
\text{ t=" + (LaTeX[Jahre]) + "   ; λ=" + (LaTeX[λ_{a}]) + " } \\ \space \\
\text{ }\mathbf{Restbestand:} \\ 
\text{ } \frac{B(t)}{B(0)} = e^{−λ · t}  \\
\text{ }\frac{B(" + (LaTeX[Jahre]) + ")}{B(0)} = e^{−" + (LaTeX[λ_{a}]) + " · " + (LaTeX[Jahre]) + " }= " + (LaTeX[ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre))]) + "=" + (LaTeX[(100 * ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre)))]) + "  \space % \\ 
\text{ B(" + (LaTeX[Jahre]) + ")=" + (LaTeX[(B_0 * ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre)))]) + "} \\ \space \\
\text{ }\mathbf{ Zerfallenes:}  \\ 
\text{ }\frac{ΔB(t)}{B(0)}=1−e^{−λ · t} \\
\text{ }\frac{ΔB( " + (LaTeX[Jahre]) + " )}{B(0)}=1−e^{− " + (LaTeX[λ_{a}]) + " · " + (LaTeX[Jahre]) + "}=" + (LaTeX[1 - ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre))]) + "=" + (LaTeX[(100 * (1 - ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre))))]) + "  \space %\\
\text{  } ΔB(" + (LaTeX[Jahre]) + " ) =" + (LaTeX[(B_0 * (1 - ℯ^(((-λ_{a}) * Jahre))))]) + "   \\ \space \\"
Text14: "\space \\
\text{ t= " + (LaTeX[t]) + "   ; λ=" + (LaTeX[λ_1]) + "  } \\ \space \\
\text{ }\mathbf{Restbestand:} \\ 
\text{ } \frac{C(t)}{C(0)} = e^{−λ · t}  \\
\text{ }\frac{C( " + (LaTeX[t]) + ")}{C(0)} = e^{−" + (LaTeX[λ_1]) + "  ·" + (LaTeX[t]) + "   }=" + (LaTeX[e^(((-λ_1) * t))]) + "  = " + (LaTeX[(100 * e^(((-λ_1) * t)))]) + "  \space % \\ \\
\text{ C(" + (LaTeX[t]) + " )=" + (LaTeX[RestAbsolut]) + " } \\ \space \\
\text{ }\mathbf{ Zerfallenes:}  \\ 
\text{ }\frac{ΔC(t)}{C(0)}=1−e^{−λ · t} \\
\text{ }\frac{ΔC(   )}{C(0)}=1−e^{−" + (LaTeX[λ_1]) + "  ·" + (LaTeX[t]) + "  }= " + (LaTeX[1 - e^(((-λ_1) * t))]) + "=" + (LaTeX[(100 * (1 - e^(((-λ_1) * t))))]) + "   \space %\\ 
\text{  } ΔC(" + (LaTeX[t]) + "  ) = " + (LaTeX[ZerfallenAbsolut]) + "   \\ \space \\"
Text19: "\text{ } \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·(1−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{ k})^\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t }=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{0})·q^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t} \\
              \text{        = }    \textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{0})·e^{−λ ·  \textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t }}      \text{              mit }  \textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{λ=−ln(q)=−ln(1-\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k}) }  \text{  als Zerfallskonstante }\\
 \text{        ⇒ }            \frac{B(t+1)}{B(t)} = \frac{q^{t+1}}{q^t} = \frac{e^{−λ(t+1)}} {e^{−λ t}} \\
\text{        ⇒ }         \frac{B(t+1)}{B(t)} = q = e^{−λ }  =1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " } k    = const  \text{                          } Zerfalls\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{faktor}    
\scalebox{0.9} {\text{  (bezogen auf }\Delta \text{t =1 Zeiteinheit)}}\\
\text{        ⇒ }          \frac{B(1)}{B(0)} = \frac{B(2)}{B(1)} = \frac{B(3)}{B(2)} =  . . .\frac{B(t+1)}{B(t)} = q = e^{−λ }  =1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "   } k \\
\text{        ⇒  k =  }\frac{B(t)−B(t+1)}{B(t)} = 1−q = 1− e^{−λ} \text{  = const.     Zerfalls} \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{rate}
\text{  (bezogen auf }\Delta \text{t =1 Zeiteinheit)}\\
\text{        ⇒  }k · 100  = Zerfalls\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{rate} \text{ in % }\\  \space  \\\space  \\

\text{ } \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{\text{ Hinweis: Durch Vorgabe von Werten zu bestimmten Vielfachen von ausgewählten Zeiteinheiten B(1)= , B(2)= , B(3)= , . . .}\\
 \text{              werden gleichzeitig die Zerfallskonstante λ und die damit zusammenhängenden Konstanten q und k  an die Verwendung} \\
  \text{              dieser Zeiteinheit in den obigen Formeln gebunden.} \\ \space  \\ 
\text{              Beispiel:}\\
 \text{              Wurde die Konstante λ für Monate berechnet, dann gelten für die Verwendung der Zeitangaben in Jahren : }\\
 \text{              λ' = 12·λ  ;       q'=e^{−λ'} =e^{−12·λ}=(e^{−λ})^{12}=q^{12}   und k' =1−(1−k)^{12}  }    \space  \\ "
ElementeZeitSekundenText1 = Append("\bold{T_{HW} \space Sekunden}", Zip[ScientificText[a, 6], a, ElementeZeitSekunden])
ElementeλJahre4 = Append("\bold{Zerfallskonst. \space λ_a}", Zip[ScientificText[a, 6], a, Zip[log(2) / a, a, ElementeZeitJahre]])
Elementeλ3 = Append("\bold{Zerfallskonst. \space λ_s}", Zip[ScientificText[a, 6], a, Zip[log(2) / a, a, ElementeZeitSekunden]])
ElementeSammler2: {ElementeNummern, ElementeNamen, ElementeZeit1, ElementeZeitSekundenText1, Elementeλ3, ElementeλJahre4, ElementeArt}
ElementeTabellenliste2 = Sequence(Sequence[Element[Element[ElementeSammler2, j], i], j, 1, Spaltenzahl], i, 1, ElementeZahl + 1)
Text9 = TableText(ElementeTabellenliste2, "|_")
Tabellenvariante = 1 (slider from 1 to 2, step 1)