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Substitutionsregel für Integrale

Werner Knobloch, 2015

\scalebox{1.2}{Der \bold {\textcolor{blue}{\text { Hauptsatz der Differiential-Integralrechnung}} } \text { bringt zwei Begriffe miteinander in Verbindung welche man nicht verwechseln sollte:}} \ \; \

\scalebox{1.2}\bold {\textcolor{blue} {\text{1.Das unbestimmte Integral: }}  \text{ (vereinfacht: Umkehrung der Ableitungssuche )  }} \

\text{Sei f eine Funktion , dann gibt es unter bestimmten Voraussetzungen (Stetigkeit . . .) eine Funktion F, deren Ableitung f ist }\
\text{                              also       \bold{F(x)  \; mit  \;  F'(x)=f(x) }  } \

\text{Man nennt  F(x) dann eine Stammfunktion von f(x) und man schreibt   \bold{F(x)=\int {f(x)dx }}  } \


\text{Wenn es eine Stammfunktion gibt, dann gibt es unendlich viele, die sich nur um beliebige konstante Summanden  unterscheiden} \
\text{so muss man also streng genommen schreiben     \bold{    F(x)=\int{f(x)dx+C} }   }    \ 

  
\scalebox{1.2}\bold {\textcolor{blue} {\text{2.Das bestimmte Integral:  }}  \text{ (vereinfacht: Fläche unter einer Kurve) } }  \
\text{Sei f(x) eine Funktion , dann kann unter Umständen mit bestimmten Methoden (Grenzwerte von Unter- bzw. Obersumme) ein }\

\text{Zahlenwert ermittelt werden ,den man per Definition als Maß für die Fläche unter der Kurve im Intervall [a,b] betrachtet. } \ 
\text{Man nennt diesen Flächenwert das bestimmte Integral: } \bold{\int_{a}^{b}{f(x)dx }} \        
\textcolor{red} {\bold{\text{Beachte: } }} \text{Das \textcolor{blue}{unbestimmte} Integral F(x)=\int {f(x)dx+C} ist eine \textcolor{blue}{Funktion} , während das \textcolor{blue}{bestimmte} Integral} \int_{a}^{b}{f(x)dx }\text{ ein \textcolor{blue}{Zahlenwert} ist;  }\


                                                     
\scalebox{1.2}  { \bold \textcolor{blue} { \text{3.Flächeninhaltsfunktion }       }              }  \ \;\
 \text{Indem man das obere Intervallende als x  variabel hält, kann man aus dem bestimmten Integral eine Flächenfunktion machen.}\ \;\
\text{                  \bold{A(x) = \int_{c}^{x}{f(t)dt } }   und es gilt natürlich \bold{A(b) - A(a) =  \int_{c}^{b}{f(t)dt } } -\bold{ \int_{c}^{a}{f(t)dt } } } =\bold{ \int_{a}^{b}{f(t)dt } }\

\scalebox{1.2} {   \bold \textcolor{red} { \text{4.Hauptsatz der Differential-Integralrechnung:} } }\ 

  \text{Dieser Satz bringt nun das unbestimmte Integral mit dem bestimmten Integral in eine Beziehung.}\
 \text{Die Ableitungsfunktion  der Flächeninhaltsfunktion \bold {A(x) = \int_{c}^{x}{f(t)dt }} }\text{   nach x  ist gerade die Begrenzungsfunktion f(x) selbst.}\
\text{Die Flächeninhaltsfunktion ist also eine Stammfunktion der Begrenzungsfunktion: }\ \text{                           \bold{       A'(x)=(\int_{c}^{x}{f(t)dt })' =f(x)}}\
 \text{Da alle Stammfunktionen sich nur um Konstanten unterscheiden, gilt für jede Stammfunktion F(x) :    A(x) = F(x)+C}\
 \text{Und damit \bold{  \;  \int_{a}^{b}{f(t)dt } =  \bold{ \int_{c}^{b}{f(t)dt } } -\bold{ \int_{c}^{a}{f(t)dt } = A(b) - A(a)   = F(b) +C  - ( F(a) +C)   }=F(b)  -  F(a)    } }\
 \text{                                  \textcolor{red}           \bold{ \int_{a}^{b}{f(t)dt } = F(b)  -  F(a)  }    für   \textcolor{red} \bold{ jede } Stammfunktion F(x) von f(x)} 

\scalebox{1.2}{\text{                              \bold\textcolor{blue}{Substitutionsregeln}}}\
\text{ Sei die Funktion g(x) auf [a,b] L-differenzierbar.} \
\text{ Sei f(x) auf g[a,b] L-stetig } \
 \text{  Dann gilt:   }\

\scalebox{1.2}{\text{                 }  \bold{   \int_{a}^{b}{f(g(x))g'(x)dx } =   \int_{g(a)}^{g(b)}{f(z)dz  } } \text{          Regel 1 }}  \

Beweis: \text{Sei \bold\textcolor{blue}  { F(z)} Stammfunktion von \bold\textcolor{blue}  { f(z)}, also F'(z)= f(z)} , \\text{           dann ist \bold\textcolor{brown}  {F(g(x))} Stammfunktion von \bold\textcolor{brown}  { f(g(x))·g'(x) } }      \ \; \
\text{           denn F(g(x))'=F'(g)·g'(x)=f(g(x))·g'(x) \              (nach Kettenregel und Stammfunktion )}   \
\bold\text{ Hauptsatz Diff-Int:} \text{  \textcolor{red}           \bold{ \int_{a}^{b}{f(t)dt } = F(b)  -  F(a)  } für \textcolor{red} \bold{ jede } Stammfunktion F(x) von f(x)} \
 ⇒     \int_{g(a)}^{g(b)}{\bold\textcolor{blue}{f(z)}dz }  = \bold\textcolor{blue}{F(g(b))} -\bold\textcolor{blue}{F(g(a))}  \;     \;  \;   und   \;       \int_{a}^{b}{ \bold\textcolor{brown}{f(g(x))·g'(x)}dx }  = \bold\textcolor{brown}{F(g(b))} -\bold\textcolor{brown}{F(g(a))}  \
 ⇒ \int_{a}^{b}{ \bold\textcolor{brown}{f(g(x))·g'(x)}dx  =  \int_{g(a)}^{g(b)}{\bold\textcolor{blue}{f(z)}dz }  } \

\text{   Entsprechend gilt für existierendes \bar{g} als Umkehrfunktion von g}\

  
\scalebox{1.2}{\text{                 }    \int_{a}^{b}{\bold{f(x)}dx }  = \int_{\bar{g}(a) }^{\bar{g}(b)}{ \bold{f(g(z))·g'(z)}dz  }  \text{          Regel 2 } }\

\text{Beweis: Sei z= \bar{g}(x)  und \textcolor{red}{h(z) = f(g(z))·g'(z) } ⇒\bold{\textcolor{blue}{h(\bar{g}(x)) = f(g(\bar{g}(x)))·g'(\bar{g}(x)) }} }     \ 
\text{nach obiger Regel (von rechts nach links gelesen) gilt:}  \
   \int_{\bar{g}(a) }^{\bar{g}(b)} { \bold{\textcolor{red}{h(z)}  \; dz     = \int_{a}^{b}{\bold{\textcolor{blue}{h(\bar{g}(x))} · \bar{g}'(x)} \; dx }  =\int_{a}^{b}{\bold{\textcolor{blue}{ f(g(\bar{g}(x)))·g'(\bar{g}(x)) }} · \bar{g}'(x)} \; dx }   }\
=\int_{a}^{b}{\bold{\textcolor{blue}{ f(x)·g'(\bar{g}(x)) }} · \bar{g}'(x)} \; dx    \text{           g(\bar{g }(x))= x   ⇒  \bold{\textcolor{blue}{g'(\bar{g}(x))} · \bar{g}'(x) =1}}  \

\text{  also:               }\int_{\bar{g}(a) }^{\bar{g}(b)}{\textcolor{red}{ \bold{f(g(z))·g'(z) } } \; dz }=\int_{a}^{b}{\bold{f(x)} \; dx } 

$\scalebox{1.8}{g(x)}$

$\scalebox{1.8}{f(g)}$

$\scalebox{1.8}{f(g(x))}$

$\scalebox{1.8}{a}$

$\scalebox{1.8}{b}$

$\scalebox{1.8}{g(a)}$

$\scalebox{1.8}{g(b)}$

$\scalebox{1.8}{g'(x)}$

$\scalebox{1.8}{f(g(x))g'(x)}$

0123456789ABCDEFabcdef

\scalebox{1.2}{\text{                              \bold\textcolor{blue}{angezeigtes  \; Rechenbeispiel}}}\

p1 = 3.2 (slider from -5 to 5, step 0.1)
p2 = 0.17 (slider from 0.1 to 0.2, step 0.01)
p3 = 0.1 (slider from -5 to 5, step 0.1)
p4 = 5 (slider from -5 to 5, step 0.1)
g(x) = (p1 * sin((p2 * x) + p3)) + p4
f(g) = g^(2)
h(x) = f(g(x))
a = -1.9 (slider from -5 to 5, step 0.1)
b = 2.8 (slider from -5 to 5, step 0.1)
A: (a, 0)
B: (b, 0)
g_a: g(a)
g_b: g(b)
Text6: "g(a)=" + (LaTeX[LaTeX[g_a, true, false]]) + ""
Text7: "g(b)=" + (LaTeX[LaTeX[g_b, true, false]]) + ""
C: (g_a, 0)
D: (g_b, 0)
g' = Derivative(g, x)
d = Integral(f, g_a, g_b)
q(x) = (h(x) * g'(x))
e = Integral(q, a, b)
Text4 = LaTeX(a, true, true)
Text10 = LaTeX(b, true, true)
Lowercase(x) = If[(64  <  x) ∧ (x  <  91), x + 32, x]
Hex = 16
Upercase(x) = If[(96  <  x) ∧ (x  <  123) ∨ (223  <  x) ∧ (x  <  256), x - 32, x]
nBlau = 3
nGruen = 2
Color: {FRot, FGruen, FBlau, FOrange, FBraun, FViolett}
nRot = 1
FLänge = Length(Color)
ColorDEZ = Sequence(Join[Zip[Zip[(Element[Zip[IndexOf[Take[Last[CLIPBOARDmagicSTRINGC, 6], CLIPBOARDmagicSTRINGa, CLIPBOARDmagicSTRINGa], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[CLIPBOARDmagicSTRINGC, 6], CLIPBOARDmagicSTRINGa, CLIPBOARDmagicSTRINGa], HEX] > 16)), CLIPBOARDmagicSTRINGa, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], CLIPBOARDmagicSTRINGb] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[CLIPBOARDmagicSTRINGC, 6], CLIPBOARDmagicSTRINGa, CLIPBOARDmagicSTRINGa], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[CLIPBOARDmagicSTRINGC, 6], CLIPBOARDmagicSTRINGa, CLIPBOARDmagicSTRINGa], HEX] > 16)), CLIPBOARDmagicSTRINGa, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], CLIPBOARDmagicSTRINGb + 1], CLIPBOARDmagicSTRINGb, {1, 3, 5}], CLIPBOARDmagicSTRINGC, {Element[Color, tt]}]], tt, 1, FLänge)
colorDEZ: ColorDEZ / 255
ColorHexteile = Sequence(Zip[Sum[{Take[HEX, Element[CLIPBOARDmagicSTRINGa, 1] + 1, Element[CLIPBOARDmagicSTRINGa, 1] + 1], Take[HEX, Element[CLIPBOARDmagicSTRINGa, 2] + 1, Element[CLIPBOARDmagicSTRINGa, 2] + 1]}], CLIPBOARDmagicSTRINGa, Zip[Division[CLIPBOARDmagicSTRINGa, Hex], CLIPBOARDmagicSTRINGa, Element[ColorDEZ, tt]]], tt, 1, FLänge)
TColor = Sequence("\textcolor{" + (Element[Color, tt]) + "}", tt, 1, FLänge)
nViolett = 6
nBraun = 5
nOrange = 4
Text3: "" + (LaTeX[Element[TColor, nBlau]]) + "" + (LaTeX[LaTeX[f, true, true]]) + ""
Text9: "" + (LaTeX[Element[TColor, nGruen]]) + "" + (LaTeX[LaTeX[g, true, true]]) + ""
Text5: "" + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "{f(g(x))=" + (LaTeX[LaTeX[h, true, false]]) + "}"
redDEZ = Sequence(Element[Element[colorDEZ, tt], 1], tt, 1, FLänge)
greenDEZ = Sequence(Element[Element[colorDEZ, tt], 2], tt, 1, FLänge)
blueDEZ = Sequence(Element[Element[colorDEZ, tt], 3], tt, 1, FLänge)
Text8: "" + (LaTeX[Element[TColor, nGruen]]) + "{" + (LaTeX[LaTeX[g', true, true]]) + "}"
Text11: "" + (LaTeX[Element[TColor, nBraun]]) + "{f(g(x))·g'(x)}=\left( " + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "{" + (LaTeX[h]) + " } \right)   ·\left(  " + (LaTeX[Element[TColor, nBlau]]) + "{" + (LaTeX[g']) + "} \right)\\ \text{                 } =" + (LaTeX[Element[TColor, nBraun]]) + "{ " + (LaTeX[LaTeX[q, true, false]]) + "}"
Liste1: {Text4, Text10}
Liste2: {Text7, Text6}
Text13 = TableText({Liste1, Liste2}, "v")
Text14: "\bold{  " + (LaTeX[Element[TColor, nBraun]]) + "{ \int_{" + (LaTeX[a]) + "}^{" + (LaTeX[b]) + "}{f(g(x))·g'(x)dx } }=  " + (LaTeX[Element[TColor, nBlau]]) + "{ \int_{" + (LaTeX[g_a]) + "}^{" + (LaTeX[g_b]) + "}{f(z)dz  }} } "
F = Integral(f, g)
G(x) = F(g(x))
G_{Kontrolle} = Integral(q, x)
Text15: "" + (LaTeX[Element[TColor, nBlau]]) + "{" + (LaTeX[LaTeX[F, true, true]]) + " +C \text{   (Stammfunktion von f(g) )}}"
Text16: "" + (LaTeX[Element[TColor, nBraun]]) + "{G(x)=F(g(x))=" + (LaTeX[G]) + "+C_2 \\  \text{   (Stammfunktion von f(g(x))·g'(x) )}}"
G_b: G(b)
G_a: G(a)
Text17: "\bold{  " + (LaTeX[Element[TColor, nBraun]]) + "{\int_{a }^{ b}{f(g(x))·g'(x)dx } = \int_{" + (LaTeX[a]) + "}^{" + (LaTeX[b]) + "}{f(g(x))·g'(x)dx } = \left [   G(x)\right ]_{" + (LaTeX[a]) + "}^{" + (LaTeX[b]) + "} = G(" + (LaTeX[b]) + ")-G(" + (LaTeX[a]) + " ) =" + (LaTeX[G_b]) + "-" + (LaTeX[G_a]) + "=" + (LaTeX[G_b - G_a]) + "}"
Fg_a: F(g_a)
Fg_b: F(g_b)
Text18: "\bold{  " + (LaTeX[Element[TColor, nBlau]]) + "{ \int_{g(a) }^{g(b) }{f(z)dz } = \int_{g(" + (LaTeX[a]) + ") }^{g(" + (LaTeX[b]) + ") }{f(z)dz } = \int_{" + (LaTeX[g_a]) + "}^{" + (LaTeX[g_b]) + "}{f(z)dz } = \left [   F(x)\right ]_{" + (LaTeX[g_a]) + "}^{" + (LaTeX[g_b]) + "} = F(" + (LaTeX[g_b]) + ")-F(" + (LaTeX[g_a]) + " ) =" + (LaTeX[Fg_b]) + "-" + (LaTeX[Fg_a]) + "=" + (LaTeX[Fg_b - Fg_a]) + "}"
Text12 = TableText({{Text19, Text3, Text15, Text9, Text8, Text5, Text11, Text16, Text13, Text14, Text17, Text18}}, "v")
Texte = 0 (slider from 0 to 5, step 1)
Text20: " \int_{g(" + (LaTeX[a]) + " ) }^{g(" + (LaTeX[b]) + " ) }{f(z)dz } = " + (LaTeX[d]) + ""
Funktionsregler = true
Text21: "\int_{" + (LaTeX[a]) + " }^{" + (LaTeX[b]) + " }{f(g(x))g'(x)dx } = " + (LaTeX[e]) + ""
Text22: "\scalebox{1.2}{\bold\textcolor{blue}\text{Beispiel Normalverteilung}}\\
\text{Die \textcolor{red }\bold{Normalverteilung \;  y = F(x)} zur " + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "\bold{N(\mu;\sigma)}-Verteilung ist  " + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "\bold{eine} " + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "{Stammfunktion} zur Glockenfunktion }\\
 \text{ \textcolor{red }\bold{p(x)= \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi} }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi  \sigma^2} }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} als ihre " + (LaTeX[Element[TColor, nRot]]) + "\bold{Verteilungsdichte} und sie hat für  \bold{x=\mu} den Wert \textcolor{red }\bold{F(\mu)= \frac{1}{2}}}\\

       
\\
\text {   z= \bold" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{\varphi(x)=\frac{1}{  \sqrt{2 \pi }}·ℯ^ \frac{-x^2}{2} }\text{ ist die " + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "\bold{Verteilungsdichte}  (Gaußsche Glockenkurve) einer " + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "\bold{N(0;1)}-Normalverteilung.}}\\
 \;  \;  \; y =" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "\bold {\phi(x)= \int_{∞}^{x}{ \varphi(t )dt } =  \int_{∞}^{x}{ \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }}·ℯ^ \frac{-t^2}{2} dt }}  \text{  ist die zugehörige \bold\ " + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "\bold{Verteilungsfunktion} (Gaußsche \phi-Funktion)}  \\ 
\text{   gleichzeitig eine \bold" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{Stammfunktion} von \bold " + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{\varphi(x)}.   Sowohl  \textcolor{red }\bold{F(x)} als auch \bold" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{\phi(x) } sind \bold{nicht  \; explizit} darstellbar !   }                          \\

\text{Sei g(x)=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1}{\sigma}x -\frac{\mu}{\sigma}, das ist die Gleichung einer Geraden und kann als Koordinatentransformation gedeutet werden.}\\
\\ \text{\bold{Substitutionsregel:}  ⇒\bold\textcolor{blue}{  \phi(g(x))}  ist Stammfunktion von \bold\textcolor{red}{p(x)}=\bold\textcolor{blue}{ \varphi(g(x))·\varphi'(x) }=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}· \frac{1}{\sigma} =\bold \textcolor{red}{  \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}  }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\
\text{                 }  \bold{   \int_{a}^{b}{\varphi(g(x))g'(x)dx } =   \int_{g(a)}^{g(b)}{\varphi(z)dz  } }    \\
\text{                 }  \bold{   \int_{a}^{b}{\varphi(g(x))g'(x)dx } = \int_{a}^{b}{\bold\textcolor{red}{\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi } }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}=   \phi(g(b))  -\phi(g(a))   =   \phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}  \right)   -\phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}  \right)  }\\
\\ \;

\text{\textcolor{red }\bold{F(x)} ist \bold{Stammfunktion} von \bold\textcolor{red}{ p(x)=\frac{1}{ {\sigma\sqrt{2 \pi }}}·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{  mit \bold\textcolor{red}{  F(\mu)= \frac{1}{2 }}}\\
\text{     und ebenfalls gilt:} \\
\text{ }\textcolor{blue }{\bold{\phi_g(x)}}\text{ =" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "\bold{\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}  \right) } \text{ ist \bold{Stammfunktion} von } \bold\textcolor{red}{p(x)=\frac{1}{{\sigma\sqrt{2 \pi }} }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} }\\

\text{auch hier gilt } \\\textcolor{blue }\bold{ \phi_g (\mu)=" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{\phi \left(\frac{\mu-\mu}{\sigma}  \right)=\phi \left(0  \right)= \frac{1}{2}} }   \text{ damit sind die Stammfunktionen identisch:}
\scalebox{1.2}{\text{ \bold{\textcolor{red }{F(x)} =\phi_g(x)  =" + (LaTeX[Element[TColor, nViolett]]) + "{\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)} } }}\\

 \text{\bold{Anwendung:} gesucht wird } P(a ≤x ≤b)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{{\sigma\sqrt{2 \pi }}}·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}=\phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}  \right) -  \phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}  \right)  }  \\ 
\text{Es genügt also für die Arbeit mit N(\mu;\sigma) Verteilungen auf die Standard-Normalverteilung \bold\textcolor{blue}{\phi(x) } zurück zu greifen.}"