\text{ }\mathbf{linear}

#00A900

#0000ff

#ff0000

#7f00ff

q = Zerfallsfaktor

q = Zuwachsfaktor

Neigung zu Chaos

Rekursion: 

Physik: Zerfallskonstante

\text{ }\mathbf{logistisch}

\text{ }\mathbf{beschränkt}

#cc6600

0123456789ABCDEFabcdef

Exponentiell Steigend

Exponentiell fallend

Wachstum und Zerfall

Werner Knobloch, 2015

#000000

LinearHinweis: "\text{ }ΔB = \textcolor{" + ColorRed + "}{k}"
LinearExplizit: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})  = \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k} · \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "} { t } + \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } { B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{0})"
LinearRekursiv: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B} (\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t} + 1) = \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{ t})  + \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}   "
LinearDGL: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B'  (t)} = \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k} "
BeschränktHinweis1Z2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} ∼  Sättigungsmanko"
BeschränktHinweis1Z1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} = \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k}·(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B} (\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}))"
LogistischHinweis1Z2: " \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{ΔB} ∼ Bestand·Sättigungsmanko "
LogistischHinweis1Z1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} = \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "   }{k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B} (\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "   }{t})·(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B} (\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})) "
ExponentiellFallendHinweis2Z1: "\textcolor{" + ColorRed + " }{k} = Zerfallsrate"
ExponentiellSteigendHinweis2Z1: "\textcolor{" + ColorRed + " }{k} = Zuwachsrate"
ExponentiellFallendHinweis1Z2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} ∼  Bestand"
ExponentiellFallendHinweis1Z1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} =−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "   }{k} · \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B} (\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t} )"
ExponentiellSteigendHinweis1Z2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} ∼  Bestand"
ExponentiellSteigendHinweis1Z1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{ΔB} = \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "   }{k} · \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B} (\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t} )"
LinearHinweis1Z2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ΔB} = const."
LinearHinweis1Z1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{ΔB} = \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k}"
S = 13 (slider from 0 to 100, step 1)
k = 0.02 (slider from 0.01 to 1, step 0.01)
k·S: (k * S)
LogistischHinweisZ4: "für \space  \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "  }{k}·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "    }{S} >3 "
LogistischHinweisZ1: "\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "   }{S} = " + (LaTeX[k·S]) + ""
LogistischExplizitZ2: "=\frac{\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})· \textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S}}{  \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{0} ) +  (\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S} \space  – \space   \textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{0}) ) ·e^{ \space -   \textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "  }{k }\space ·\space   \textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S}  \space· \space   \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t} } }"
LogistischExplizitZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\frac{ \textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}}  { 1+ (    \frac{S }{\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})}- 1 ) ·e^{ \space− \textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{ k}  \space ·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S}  \space  ·\space   \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t} } }"
LogistischRekursivZ3: "\text{           } = (1+\textcolor{  " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k }·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S })·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B }(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t })−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "  }{k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t })^2"
LogistischRekursivZ2: "\text{           }=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t})·(1+\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}))         "
LogistischRekursivZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}+1)=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})) "
BeschränktDGLZ4: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B'}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})= λ·(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}))"
BeschränktDGLZ3: "\text{       }=−ln(1−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}))"
BeschränktDGLZ2: "\text{       }=−ln(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0}))·(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k})^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}"
BeschränktDGLZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B'}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=−ln(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0}))·e^{ln(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k})·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}}  "
BeschränktExplizitZ3: " =\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S}−c·e^ {−λ· \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}}"
BeschränktExplizitZ2: "=\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S} - \textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0}))·e^ {− \lambda · \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}}"
BeschränktExplizitZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S}−(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S} − \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{0}))·(1 −\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}"
ExponentiellFallendHinweisZ2: "λ=−ln(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})"
ExponentiellFallendHinweisZ1: "q = 1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}"
ExponentiellFallendDGLZ2: "\text{       }= −λ·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})"
ExponentiellFallendDGLZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B'}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=ln(1−\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}) "
ExponentiellFallendExplizitZ2: "\text{      }= \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·e^{ − λ ·  \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t }}"
ExponentiellFallendExplizitZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·(1−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ k})^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t }=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{0})·q^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}"
ExponentiellFallendRekursivZ2: "\text{           }=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})·(1−\textcolor{  " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}) "
ExponentiellFallendRekursivZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "} {t}+1)=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})"
ExponentiellSteigendHinweisZ2: "λ=ln(1+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})"
ExponentiellSteigendHinweisZ1: "q = 1+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}"
ExponentiellSteigendDGLZ2: "\text{       } = λ·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t)}  \\  \space  "
ExponentiellSteigendDGLZ1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B'}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=ln(1+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k})·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t)}"
ExponentiellSteigendExplizitZ2: "\text{      }=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·e^{ λ ·  \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t }}"
ExponentiellSteigendExplizitZ1: " \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·(1+\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "}{ k})^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t }=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·q^\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}"
LogistischDGL: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B'}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "   }{k}·\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "  }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})) "
BeschränktHinweis: "\text{  }λ=−ln(1−\textcolor{" + ColorRed + "}{k})"
BeschränktRekursiv: "\text{ }\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}+1)=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k}·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S} – \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}))"
Lead3 = TableText({{"\mathbf{exponentiell}", "\mathbf{fallend}"}}, "v")
Lead2 = TableText({{"\mathbf{exponentiell}", "\mathbf{steigend}"}}, "v")
ExponentiellSteigendRekursivZ1: " \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}+1)=\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})+\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})"
ExponentiellSteigendRekursivZ2: "\text{         }  = \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})·(1+\textcolor{  " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}) "
ExponentiellSteigendRekursiv = TableText({{ExponentiellSteigendRekursivZ1, ExponentiellSteigendRekursivZ2}}, "v")
TT1: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{linear}"
B_0 = 4.5 (slider from 0 to 20, step 0.1)
f_{linear}(t) = (k * t) + B_0
Text16: "\textcolor{ " + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{" + (LaTeX[LaTeX[f_{linear}, true, true]]) + "}"
TT6: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{logistisch}"
f_{logist}(t) = (B_0 * S / (B_0 + ((S - B_0) * ℯ^((((-k) * S) * t)))))
Text15: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{" + (LaTeX[LaTeX[f_{logist}, true, true]]) + "}"
TT3: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{exponentieller \space  Zerfall}"
λ_2: (-log(1 - k))
f_{expZ}(t) = (B_0 * ℯ^(((-λ_2) * t)))
Text14: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{" + (LaTeX[LaTeX[f_{expZ}, true, true]]) + "}"
TT2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{exponentiell}"
λ_1: log(1 + k)
f_{exp}(t) = (B_0 * ℯ^((λ_1 * t)))
Text11: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{" + (LaTeX[LaTeX[f_{exp}, true, true]]) + "}"
r: S - B_0
f_{beschr}(t) = S - (r * ℯ^(((-λ_2) * t)))
TT4: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBrown]) + "}{beschränkt}"
Text13: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBrown]) + "}{" + (LaTeX[LaTeX[f_{beschr}, true, true]]) + "}"
TT5: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBrown]) + "}{Restfunktion  \space (beschränkt)}"
f_{rest}(t) = (r * ℯ^(((-λ_2) * t)))
Text18: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBrown]) + " }{" + (LaTeX[LaTeX[f_{rest}, true, true]]) + "}"
ElementeZahl = 15
ElementeNummern = Join({{" "}, Sequence[Text[i], i, 1, ElementeZahl]})
ElementeArt: {"\mathbf{Art}", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Aktivierungsprodukt", "Spaltprodukt", "Wasserstoffisotop", "Spaltprodukt", "Spaltprodukt", "Kohlenstoffisotop", "Transuran", "Spaltprodukt", "Transuran", "Spaltprodukt", "Uranisotop"}
konstT = 86400
konstJ = 3.1536E7
ElementeZeitSekunden: {(8 * konstT), (58.5 * konstT), (367 * konstT), (2.1 * konstJ), (5.3 * konstJ), (10.7 * konstJ), (12.4 * konstJ), (28.8 * konstJ), (30.2 * konstJ), (5730 * konstJ), (24000 * konstJ), (214000 * konstJ), (2100000 * konstJ), (16000000 * konstJ), (703800000 * konstJ)}
ElementeZeitSekundenText_0: {Text[(8 * konstT)], Text[(58.5 * konstT)], Text[(367 * konstT)], Text[(2.1 * konstJ)], Text[(5.3 * konstJ)], Text[(10.7 * konstJ)], Text[(12.4 * konstJ)], Text[(28.8 * konstJ)], Text[(30.2 * konstJ)], Text[(5730 * konstJ)], Text[(24000 * konstJ)], Text[(214000 * konstJ)], Text[(2100000 * konstJ)], Text[(16000000 * konstJ)], Text[(703800000 * konstJ)]}
ElementeZeitPotenzen = Zip(Length[a], a, ElementeZeitSekundenText_0)
ElementeZeitNormierung = Zip(a / 10^(b - 1), a, ElementeZeitSekunden, b, ElementeZeitPotenzen)
ElementeZeitSekundenText = Append("\mathbf{T_{HW} \space Sekunden}", Sequence[Text[Element[ElementeZeitNormierung, j] + "\space E + " + (Element[ElementeZeitPotenzen, j] - 1) + ""], j, 1, ElementeZahl])
ElementeNamen: {"\mathbf{Radionukleid}", "Jod 131", "Yttrium 91", "Ruthenium 106", "Cäsium 134", "Kobalt 60", "Krypton 85", "Tritium", "Strontium 90", "Cäsium 137", "Kohlenstoff C14", "Plutonium 239", "Techenium 99", "Neptunium 237", "Jod 129", "Uran 235"}
ElementeZeit1: {"\mathbf{Halbwertszeit \space T_{HW}}", "8 \space Tage", "58,5\space  Tage", "367 \space Tage", "2,1 \space  Jahre", "5,3 \space Jahre", "10,7\space  Jahre", "12,4 \space Jahre", "28,8 \space Jahre", "30,2 \space  Jahre", "5730 \space Jahre", "24 000 \space Jahre", "214 000 \space Jahre", "2,1 \space Mio.\space  Jahre", "16 \space Mio \space Jahre", "703,8 \space Mio \space Jahre"}
Elementeλ2: {"\mathbf{Zerfallskonst. \space λ_s}", "1.0028 \space E-6", "1.3713 \space E-7", "2.1860 \space E-8", "1.0466 \space E-8", "4.1471 \space E-9", "2.0542 \space E-9", "1.7725 \space E-9", "7.6318 \space E-10", "7.2780 \space E-10", "3.8359 \space E-12", "9.1581 \space E-13", "1.0271 \space E-13", "1.0466 \space E-14", "1.3737 \space E-15", "3.1230 \space E-17"}
ElementeλJahre2: {"3.16248 \space E+1", "4.32476 \space E-0 ", "6.89370 \space E-1 ", "3.30070 \space E-1 ", "1.30782 \space E-1 ", "6.47801 \space E-2", "5.58990 \space E-2", "2.40676 \space E-2", "2.29519 \space E-2", "1.20968 \space E-4", "2.88811 \space E-5", "3.23901 \space E-6", "3.30070 \space E-7", "4.33217 \space E-8", "9.84864 \space E-10"}
ElementeλJahre3 = Append("\mathbf{Zerfallskonst. \space λ_a}", ElementeλJahre2)
ElementeSammler: {ElementeNummern, ElementeNamen, ElementeZeit1, ElementeZeitSekundenText, Elementeλ2, ElementeλJahre3, ElementeArt}
Spaltenzahl = Length(ElementeSammler)
LinearDelta: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B} (\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t} + 1) - \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{ t})=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}   "
ExponentiellFallendDelta: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "} {t}+1)−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})"
ExponentiellFallendQuotient: "\frac{ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "} {t}+1)} { \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})} =1−\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k} =q "
ExponentiellSteigendDelta: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}+1)−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})"
ExponentiellSteigendQuotient: "\frac{ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " } {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "} {t}+1)} { \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "} {B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})} =1+\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + "} {k} =q "
LogistischDelta: "\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}+1)−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})=\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}·\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t})·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + " }{S}−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + " }{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{t}))"
BeschränktDelta: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}+1)−\textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t})=\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{k}·(\textcolor{" + (LaTeX[ColorViolett]) + "}{S}− \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "}{B}(\textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "}{t}))"
Startwert = 0
Endwert = 10000
ColorBlueDEZ = Join(Zip[Zip[(Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b + 1], b, {1, 3, 5}], C, {ColorBlue}])
ColorGreenDEZ = Join(Zip[Zip[(Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b + 1], b, {1, 3, 5}], C, {ColorGreen}])
ColorRedDEZ = Zip((Element[Zip[IndexOf[Take[Last[ColorRed, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[ColorRed, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[ColorRed, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[ColorRed, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b + 1], b, {1, 3, 5})
ColorBrownDEZ = Join(Zip[Zip[(Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b + 1], b, {1, 3, 5}], C, {ColorBrown}])
Liste00: {"\mathbf{Typ}", "\mathbf{implizit-rekursiv: \space (diskret) }", "\mathbf{explizit \space (kontinuierlich-stetig)}", "\mathbf{DGL-Ableitung  \space(kontinuierlich-stetig)}", "\mathbf{Hinweis}"}
Füller: {"\space \\ ", " ", " ", " ", " "}
Bexf(t) = If[Startwert ≤ t ≤ Endwert,(B_0 * (1 - k)^(t))]
Bb(t) = If[Startwert ≤ t ≤ Endwert,S - ((S - B_0) * (1 - k)^(t))]
Sättigungsgrenze: y = S
Bexs(t) = If[Startwert ≤ t ≤ Endwert,(B_0 * (1 + k)^(t))]
Bli(t) = If[Startwert ≤ t ≤ Endwert,(k * t) + B_0]
Blog(t) = If[Startwert ≤ t ≤ Endwert,(B_0 * S / (B_0 + ((S - B_0) * ℯ^((((-k) * S) * t)))))]
Tabelle_1 = true
linear = true
exponentiellsteigend = true
exponentiellfallend = true
beschränkt = true
logistisch = true
x_0: (x(Corner[1]) + x(Corner[2])) / 3
A: (x_0, Bb(x_0))
B: (x_0, Bli(x_0))
C: (x_0, Bexf(x_0))
D: (x_0, Bexs(x_0))
E: (x_0, Blog(x_0))
Text1 = Text("logistisch", E)
Text3 = Text("linear", B)
Text5 = Text("exponentiell", D)
Text6 = Text("beschränkt", A)
ExponentiellSteigendExplizit = TableText({{ExponentiellSteigendExplizitZ1, ExponentiellSteigendExplizitZ2}}, "v")
ExponentiellSteigendDGL = TableText({{ExponentiellSteigendDGLZ1, ExponentiellSteigendDGLZ2}}, "v")
ExponentiellSteigendHinweis = TableText({{ExponentiellSteigendHinweisZ1, ExponentiellSteigendHinweisZ2}}, "v")
Liste02: {Lead2, ExponentiellSteigendRekursiv, ExponentiellSteigendExplizit, ExponentiellSteigendDGL, ExponentiellSteigendHinweis}
ExponentiellFallendRekursiv = TableText({{ExponentiellFallendRekursivZ1, ExponentiellFallendRekursivZ2}}, "v")
ExponentiellFallendExplizit = TableText({{ExponentiellFallendExplizitZ1, ExponentiellFallendExplizitZ2}}, "v")
ExponentiellFallendDGL = TableText({{ExponentiellFallendDGLZ1, ExponentiellFallendDGLZ2}}, "v")
ExponentiellFallendHinweis = TableText({{ExponentiellFallendHinweisZ1, ExponentiellFallendHinweisZ2, ExponentiellFallendHinweisZ3}}, "v")
Liste03: {Lead3, ExponentiellFallendRekursiv, ExponentiellFallendExplizit, ExponentiellFallendDGL, ExponentiellFallendHinweis}
LogistischRekursiv = TableText({{LogistischRekursivZ1, LogistischRekursivZ2, LogistischRekursivZ3}}, "v")
LogistischExplizit = TableText({{LogistischExplizitZ1, LogistischExplizitZ2}}, "v")
LogistischHinweis = TableText({{LogistischHinweisZ1, LogistischHinweisZ2, LogistischHinweisZ3, LogistischHinweisZ4}}, "v")
Liste05: {Lead5, LogistischRekursiv, LogistischExplizit, LogistischDGL, LogistischHinweis}
BeschränktExplizit = TableText({{BeschränktExplizitZ1, BeschränktExplizitZ2, BeschränktExplizitZ3}}, "v")
BeschränktDGL = TableText({{BeschränktDGLZ1, BeschränktDGLZ2, BeschränktDGLZ3, BeschränktDGLZ4}}, "v")
Liste01: {Lead1, LinearRekursiv, LinearExplizit, LinearDGL, LinearHinweis}
Liste04: {Lead4, BeschränktRekursiv, BeschränktExplizit, BeschränktDGL, BeschränktHinweis}
Text4 = Text("exponentieller Zerfall", C)
Text9: "" + (LaTeX[LaTeX[λ_1, true, true]]) + "=ln(1+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}k) = ln(1+\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{" + (LaTeX[k]) + "})=" + (LaTeX[log(1 + k)]) + " \\ " + (LaTeX[LaTeX[λ_2, true, true]]) + "=- ln(1-\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}k) =-ln(1-\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "}{" + (LaTeX[k]) + "}) = " + (LaTeX[(-log(1 - k))]) + ""
Seite = 2 (slider from 1 to 3, step 1)
Liste00b: {"\mathbf{Typ}", "\mathbf{Zunahme/Abnahme}", "Hinweis 1", "\mathbf{Quotient}", "Hinweis 2"}
LogistischHinweis1 = TableText({{LogistischHinweis1Z1, LogistischHinweis1Z2}}, "v")
Liste05b: {Lead5, LogistischDelta, LogistischHinweis1, "  \\  \space "}
ExponentiellSteigendHinweis1 = TableText({{ExponentiellSteigendHinweis1Z1, ExponentiellSteigendHinweis1Z2}}, "v")
ExponentiellSteigendHinweis2 = TableText({{ExponentiellSteigendHinweis2Z1, ExponentiellSteigendHinweis2Z2}}, "v")
Liste02b: {Lead2, ExponentiellSteigendDelta, ExponentiellSteigendHinweis1, ExponentiellSteigendQuotient, ExponentiellSteigendHinweis2}
ExponentiellFallendHinweis1 = TableText({{ExponentiellFallendHinweis1Z1, ExponentiellFallendHinweis1Z2}}, "v")
ExponentiellFallendHinweis2 = TableText({{ExponentiellFallendHinweis2Z1, ExponentiellFallendHinweis2Z2}}, "v")
Liste03b: {Lead3, ExponentiellFallendDelta, ExponentiellFallendHinweis1, ExponentiellFallendQuotient, ExponentiellFallendHinweis2}
LinearHinweis2: "\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + " }{k}=Geradensteigung"
LinearHinweis1 = TableText({{LinearHinweis1Z1, LinearHinweis1Z2}}, "v")
Liste01b: {Lead1, LinearDelta, LinearHinweis1, " ", LinearHinweis2}
BeschränktHinweis1 = TableText({{BeschränktHinweis1Z1, BeschränktHinweis1Z2}}, "v")
Liste04b: {Lead4, BeschränktDelta, BeschränktHinweis1, "  \\  \space "}
Tabelle_2 = true
Aufgabe1Formel: "\textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t}) = \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlue]) + "  }{B}(\textcolor{ " + (LaTeX[ColorGreen]) + " }{0})·e^{−λ ·  \textcolor{" + (LaTeX[ColorGreen]) + "  }{t }}"
B_{0}: (0, B_0)
Elementeλ1: {Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 1]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 2]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 3]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 4]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 5]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 6]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 7]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 8]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 9]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 10]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 11]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 12]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 13]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 14]], Text[log(2) / Element[ElementeZeitSekunden, 15]]}
ElementeTabellenliste = Sequence(Sequence[Element[Element[ElementeSammler, j], i], j, 1, Spaltenzahl], i, 1, ElementeZahl + 1)
Text12 = TableText(ElementeTabellenliste, "|_")
ElementeZeitJahre: ElementeZeitSekunden / konstJ
ElementeλJahre = Zip(Text[log(2) / a], a, ElementeZeitJahre)
TextRestbeschr: {Text18, TT5}
Textbeschr: {Text13, TT4}
Textexp: {Text11, TT2}
TextexpZ: {Text14, TT3}
Textlogist: {Text15, TT6}
Textlinear: {Text16, TT1}
Funktionen: {Textlinear, Textexp, TextexpZ, Textbeschr, TextRestbeschr, Textlogist}
FunktionenTabelle = TableText(Funktionen, "|_")
Rest(t) = If[0 ≤ t ≤ 10000,(r * ℯ^(((-λ_2) * t)))]
F: (x_0, Rest(x_0))
Text17 = Text("Rest beschränkt", F)
Beschriftungen = true
Restfunktion = true
ColorViolettDEZ = Join(Zip[Zip[(Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b] * 16) + Element[Zip[IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] - 1 - (6 * (IndexOf[Take[Last[C, 6], a, a], HEX] > 16)), a, {1, 2, 3, 4, 5, 6}], b + 1], b, {1, 3, 5}], C, {ColorViolett}])
Funktionsliste = false
rek_{lin}(x) = x + k
Rekursionslänge = 50 (slider from 0 to 50, step 1)
rek_{exposteigend}(x) = x + (k * x)
Liste2 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{exposteigend}, B_0, Rekursionslänge])
Liste1 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{lin}, B_0, Rekursionslänge])
rek_{expofallend}(x) = x - (k * x)
Liste3 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{expofallend}, B_0, Rekursionslänge])
rek_{beschränkt}(x) = x + (k * (S - x))
Liste4 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{beschränkt}, B_0, Rekursionslänge])
rek_{logistisch}(x) = x + ((λ_2 * x) * (S - x))
Liste5 = Zip((a, b), a, Sequence[i, i, 0, Rekursionslänge], b, IterationList[rek_{logistisch}, B_0, Rekursionslänge])
a = PolyLine(Liste5)
t_{Seite3} = 10
zerfallen_{Seite3} = 0.2051
λ_{Seite3}: ((-log(1 - zerfallen_{Seite3}))) / t_{Seite3}
T_{Seite3}: round((10 * log(2) / λ_{Seite3}) + 0.5) / 10
λ_{Seite3}pl: log(1 - zerfallen_{Seite3}) / t_{Seite3}
test = Length(ElementeZeitSekunden)
ElementeλJahreText_0 = Append("\mathbf{Zerfallskonst. \space λ_a}", ElementeλJahre)
Liste6: {"\mathbf{linear}", LinearRekursiv, LinearExplizit, LinearDGL, "ΔB = \textcolor{" + ColorRed + "}{k}"}
Liste7: {"\mathbf{linear}", LinearRekursiv, LinearExplizit, LinearDGL, "ΔB = \textcolor{" + ColorRed + "}{k}"}
Liste8: {"\mathbf{linear}", LinearRekursiv, LinearExplizit, LinearDGL, "ΔB = \textcolor{" + ColorRed + "}{k}"}
Text10: "\text{1. Aufgabe: Bestimme den Zusammenhang von Halbwertszeit T und Zerfallskonstante  λ.} \\
       Lösung:  " + (LaTeX[Aufgabe1Formel]) + " ⇒ \frac{1}{2}·B(0)=B(0)·e^{−λ · T} ⇒  ln(\frac{1}{2})=−λ·T ⇒ ln(1)−ln(2) =−λ·T ⇒ 0−ln(2)=−λ·T  ⇒ T=\frac{ln(2)}{λ} \\  \space \\  \space \\

\text{2. Aufgabe: Von einem Radionuklid zerfallen in } " + (LaTeX[t_{Seite3}]) + "  \space Jahren \space  " + (LaTeX[(100 * zerfallen_{Seite3})]) + "  \space %.\text{ Berechne die Zerfallskonstante und die Halbwertszeit.} \\
       Lösung:  " + (LaTeX[Aufgabe1Formel]) + "   ⇒   B(0)·(1−" + (LaTeX[zerfallen_{Seite3}]) + ")=B(0)·e^{−λ · " + (LaTeX[t_{Seite3}]) + " } ⇒ −λ·" + (LaTeX[t_{Seite3}]) + " = ln(1−" + (LaTeX[zerfallen_{Seite3}]) + ") ⇒ λ=−\frac{ln(1-" + (LaTeX[zerfallen_{Seite3}]) + ")} {" + (LaTeX[t_{Seite3}]) + "}\\
             ⇒  λ=−(" + (LaTeX[λ_{Seite3}pl]) + ") =" + (LaTeX[λ_{Seite3}]) + "  ⇒ \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlack]) + "}{T_{1/2}} = \frac{ln(2)} {" + (LaTeX[λ_{Seite3}]) + "} = \frac{0,6931471806} {" + (LaTeX[λ_{Seite3}]) + "} =" + (LaTeX[T_{Seite3}]) + " \space a"
Text2 = TableText({Liste00, Füller, Liste01, Füller, Liste02, Füller, Liste03, Füller, Liste04, Füller, Liste05}, "_|h")
Text7 = TableText({Liste00b, Füller, Liste01b, Füller, Liste02b, Füller, Liste03b, Füller, Liste04b, Füller, Liste05b}, "_|h")
Text8: " \mathbf{Begriffsdschungel:} \\ \space \\
 \mathbf{Bestand} \text{  zum Zeitpunkt t: B(t)}  \\
\text{  (auch: Bevölkerung, Populationsgröße, Menge, Zustand, Anzahl , Kapital)} \\
 \mathbf { Anfangsbestand: } \text{   B(0)}   \\  \space \\
 \mathbf { Absoluter Zuwachs: } \text{     ΔB = B(t+1) - B(t)  falls ΔB=const ⇒ arithmetische Folge bzw. lineares Wachstum} \\
\text{  (auch: absolutes Wachstum, absolute Änderungsrate)} \\
 \mathbf{Wachstumsfaktor:}  \text{    q= }  \frac{ B(t+1)}{ B(t)}  \text{  falls q=const ⇒ geometrische Folge bzw. exponentielles Wachstum  } \\
\text{  (auch: Zuwachsfaktor, Zinsfaktor im Bankenwesen) } \\
\text{  Masszahl des zeitlichen Vergleichs, bei dem üblicherweise die Zählergröße zeitlich direkt auf die Nennergröße folgt.}  \\ 
\text{ B(t+1) = q· B(t) ⇒  B(t+1) - B(t) = q· B(t)−B(t)  ⇒  B(t+1)−B(t) =  B(t) ·(q−1) }\\ 
\text{   ⇒ } \frac{ B(t+1) - B(t)}{ B(t)} = q−1 \\
 \mathbf{Wachstumsrate: }\text{    i = q −1= }\frac{ B(t+1) - B(t)}{ B(t)} = \frac{ ΔB} {B(t)}\text{  ⇒  (100·i) =  }\mathbf{prozentuale} \text{  Veränderung der Ausgangsgröße }  \\ 
\text{  (auch: Zinssatz im Bankenwesen)} \\ 
 \mathbf{Zinsfuß: }\text{    p =100·i      nur im Bankenwesen    z.B.      i = 2,5 \% = 0,025 ⇒ p = 100 i = 2,5}
 \space \\  \space \\
 \mathbf{Wachstumskonstante:} \text{    λ } \text{   Geht man beim exponentiellen Wachstum von der Form B(t)=B(0)·q^t über zur Darstellung mit der Basis e,} \\ 
\text{  dann gilt }B(t)=B(0)·e^{ln(q)·t } .\text{   Man nennt  λ =ln(q)=ln(1+k) die Wachstumskonstante.} \\
 \mathbf{Zerfallskonstante \space   λ }  \text{ (Physik):  Geht man beim exponentiellen Zerfall von der Form }  B(t)=B(0)·q^t  \text{  über zur Darstellung mit der Basis e,} \\ 
\text{  dann gilt } B(t)=B(0)·e^{ln(q)·t }. \text{  Man nennt λ=−ln(q)=−ln(1+k) die Zerfallskonstante. }\\
\text{ Der Begriff ist in der Physik vorzugsweise auf den “Radioaktiven Zerfall” beschränkt.}    \\ \space \\ \space \\
\textcolor{" + (LaTeX[ColorRed]) + "} \mathbf{Hinweis:} \text{    Die Verwendung der Begriffe ist nicht immer konsequent und einheitlich, }  \\ 
\text{                so wird z.B. Zinsfuß und Zinssatz nicht immer streng unterschieden.} \\ \space \\


 \mathbf{Exkurs:} \\ 
\text{  Hat man beim Wachstum über mehrere Jahre hinweg verschiedene  Wachstumsfaktoren } \textcolor{ " + (LaTeX[ColorBlack]) + "}{ q_1 , q_2 ,.  .  ., q_n} \text{  bzw. Wachstumsraten } \textcolor{" + (LaTeX[ColorBlack]) + " }{p_1, p_2 ,. . . , p_n , }\\ 
\text{  dann kann man nach einem 'durchschnittlichen' Wachstumsfaktor fragen, der bei exponentiellem Wachstum zum gleichen Endstand führen würde.}  \\ 
\text{  Dieser Wert berechnet sich sinnvollerweise nicht als arithmetisches  sondern als } \mathbf{geometrisches \space  Mittel} \text{der Einzelfaktoren. }    \\
\text{                    q = } \sqrt[{n \space  }] {  q_1· q_2 · q_2 ... .q_n-1 · q_n  } \\ \space \\ \space \\

\textcolor{ " + (LaTeX[ColorRed]) + " } \mathbf{ Hinweis \space   zur \space   Programmbedienung:}\\
 \text{Texte oder Tabellentexte lassen sich oft durch Checkboxen (Häkchen) ausblenden.} \\
 \text{ Sie können auch jederzeit mit der Maus zur Seite geschoben werden.}"