$\scalebox{1.6}{μ}$

 Binomialverteilung - Normalverteilung\
\text{                    }Vergleich

k

\text{Faustregeln für die Zulässigkeit der Approximation:}\
\text{1. Faustregel: n·p>5   und    n·(1 - p)>5 }\
\text{2. Faustregel: n>5 und  \left| \frac{1}{ \sqrt{n}} ·\left(  \sqrt{\frac{1-p}{p}}  -  \sqrt{\frac{p}{1-p}}    \right) \right| < 0.3    \

Quelle u.a. http://matheguru.com/stochastik/31-normalverteilung.html

\text{Eine \bold{Binomialverteilung } }{\bold{B_n(p,k)}} \text { hat eine Standardabweichung (Streuung) \bold{σ =\sqrt{n ·p ·(1-p)} }}\
\text{und einen Erwartungswert \bold{\mu = n ·p} .} \ \text{Durch die beiden Werte ist eine \bold{Normalverteilung \;  N(\mu; σ^2)} bzw. deren Dichtefunktion \textcolor{red}{p(x)} definiert: }\
\text{              \textcolor{red }\bold{p(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi\sigma^2} }·ℯ^ \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}\
\text{Es zeigt sich, dass für \bold{genügend  \; große \; n} diese Dichtefunktion bzw. die zugehörige Normalverteilung}\ 
\text{eine brauchbare \bold{Näherung  \; der \;  Binomialverteilung} ist.}

Werner Knobloch, 2015

k = 19 (slider from Untergrenze_k to Obergrenze_k, step 1)
n = 138 (slider from 1 to 200, step 1)
Binkoeff_nk = Binomial(n, k)
Text10 = ScientificText(Binkoeff_nk)
Text16 = If(Binkoeff_nk > 10^(9), Text10, Text[Binkoeff_nk])
p = 0.25 (slider from 0.05 to 1, step 0.1)
b_k: ((Binomial[n, k] * p^(k)) * (1 - p)^(n - k))
Liste1 = Sequence(((Binomial[n, k] * p^(k)) * (1 - p)^(n - k)), k, 0, n)
c = BarChart(-0.5, n + 0.5, Liste1)
Liste2 = Sequence(Sum[Liste1, i], i, 1, n + 1)
BinomialKumulativ = BarChart(-0.5, n + 0.5, Liste2)
Liste3 = Sequence(i, i, 0, n)
Liste4 = Sequence((Element[Liste3, i], Element[Liste1, i]), i, 1, n)
μ: (n * p)
e: x = μ
Var: ((n * p) * (1 - p))
σ: sqrt(((n * p) * (1 - p)))
φ_{(μ,σ)}(x) = (1 / ((σ * sqrt((2 * π)))) * ℯ^(((-(x - μ)^(2))) / ((2 * σ^(2)))))
g: ((Binomial[20, 8] * 0.4^(8)) * (1 - 0.4)^(20 - 8))
Text6 = LaTeX(φ_{(μ,σ)}, true, true)
φ_{μ,σ}k: φ_{(μ,σ)}(k)
Text1: "B_{ " + (LaTeX[n]) + "} (" + (LaTeX[p]) + " ,\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + "} )=BinomialKoeffizient[n,\textcolor{red}{k}] p^\textcolor{red}{k}(1-p)^{n -\textcolor{red}{k} }   \\
 \text{               }  =BinomialKoeffizient[" + (LaTeX[n]) + ",\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + "}]" + (LaTeX[p]) + "^{\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + "}}(1-" + (LaTeX[p]) + ")^{" + (LaTeX[n]) + "-\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + "}} \\
\text{               } =" + (LaTeX[b_k]) + ""
Text7: "φ_{(μ,σ)}( \textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + " })    = \frac{1}    {\mu \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{ (\textcolor{red}{    " + (LaTeX[k]) + "}- \mu)^2}        {2\sigma^2} }=   " + (LaTeX[LaTeX[φ_{μ,σ}k]]) + ""
Rel: (100 * (φ_{μ,σ}k - b_k) / b_k)
Kriterium: abs((1 / sqrt(n) * (sqrt((1 - p) / p) - sqrt(p / (1 - p)))))
Text8 = LaTeX(Kriterium, true, true)
Text9: "" + (LaTeX[LaTeX[Rel, true, true]]) + "%"
φ_{(μ;σ)} = Normal(μ, σ, x)
Text4: "" + (LaTeX[LaTeX[σ, false, true]]) + "=" + (LaTeX[σ]) + ""
Text2: "" + (LaTeX[LaTeX[μ, false, true]]) + "=" + (LaTeX[μ]) + ""
Obergrenze_k: round(μ + (3 * σ))
Untergrenze_k: round(μ - (3 * σ))
Bildschirmhöhe: y(Corner[3]) - y(Corner[2])
Text11 = LaTeX(Bildschirmhöhe, true, true)
b = Segment((k, ((-0.1) * Bildschirmhöhe)), (k, φ_{(μ;σ)}(k) + (0.1 * Bildschirmhöhe)))
Text3: "" + (LaTeX[LaTeX[Binkoeff_nk, false, false]]) + "=BinomialKoeffizient[ " + (LaTeX[n]) + "," + (LaTeX[k]) + "]=" + (LaTeX[Text16]) + ""
Text12: "Relative \;  Differenz=\frac{φ_{(μ,σ)}( \textcolor{red}{  " + (LaTeX[k]) + "})-B_{" + (LaTeX[n]) + "  } ( " + (LaTeX[p]) + " ,\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + " } ) }{B_{ " + (LaTeX[n]) + " } ( p ,\textcolor{red}{" + (LaTeX[k]) + " } )}=" + (LaTeX[Rel]) + " \; % "
Text5 = TableText({{Text3, Text1, Text7, Text12}}, "lv")
Kriterium2: (n * (1 - p))
Text13 = LaTeX(Kriterium2, true, true)
Tab1: {"n", n}
Tab2: {"n · p", (n * p)}
Tab3: {"n · (1 - p)", (n * (1 - p))}
Tab4: {"\left| \frac{1}{ \sqrt{n}} ·\left(  \sqrt{\frac{1-p}{p}}  -  \sqrt{\frac{p}{1-p}}    \right)  \right|  ", Kriterium}
Text15 = TableText({Tab1, Tab2, Tab3, Tab4}, "|_h")
Grundgedanke = false
Ordinatenpunkte = false
Normalverteilung = true
Faustregeln = true